Valores y vectores propios

El cálculo e interpretación de valores y vectores propios es una faceta muy importante dentro de muchos campos de las matemáticas, ingeniería y ciencia modernas.

Por ejemplo, aplica en estadística (en temas como análisis de conglomerados, análisis de componentes principales y análisis de factores), aplica en la física mecánica, en la resolución de sistemas de ecuaciones diferenciales lineales, en la dinámica poblacional, etc.

El análisis de conglomerados (o Cluster) calcula los valores propios de la matriz de varianza y covarianza, lo que permite posteriormente calcular las distancias.

En el análisis de componentes principales, los valores propios permiten decidir qué variables son las realmente importantes y posteriormente realizar agrupamientos.

En el análisis de factores, se emplea una técnica de reducción de datos para explicar las correlaciones entre las variables observadas en términos de un número menor de variables no observadas llamadas factores. El análisis factorial se originó en psicometría, y se usa en las ciencias del comportamiento tales como ciencias sociales, marketing, gestión de productos, investigación operativa, y otras ciencias aplicadas que tratan con grandes cantidades de datos.

Algunas de las aplicaciones de la física mecánica son los tensores de inercia y tensión. Los vectores propios del momento de inercia definen los ejes principales de un cuerpo rígido y constituyen el tensor de inercia, que es necesario para determinar la rotación de un cuerpo rígido alrededor de su centro de masa. Los valores propios definen los momentos máximos y mínimos obtenidos mediante el círculo de Mohr.

En mecánica de sólidos deformables, el tensor de tensión es simétrico, así que puede descomponerse en un tensor diagonal cuyos valores propios en la diagonal y los vectores propios forman una base. En el campo de las ecuaciones diferenciales, los valores y vectores propios se emplean en la mecánica cuántica, el estudio de los péndulos acoplados, en la rotación de cuerpos irregulares rígidos y en las telecomunicaciones (para el cálculo de antenas múltiples empleando el algoritmo de “formación de rayos”). Sin importar lo complicado que un objeto parezca, durante su rotación como cuerpo rígido, siempre hay al menos un conjunto de tres direcciones ortogonales alrededor de las que el cuerpo puede rotar sin precesión, y para su cálculo se usan vectores propios. Por ejemplo, a medida que la Tierra rota, los vectores en el eje de rotación permanecen invariantes. Si se considera la transformación lineal que sufre la Tierra tras una hora de rotación, una flecha que partiera del centro de la Tierra al polo Sur geográfico sería un vector propio de esta transformación, con valor propio igual a uno.

Finalmente, los valores y vectores propios aplican en la dinámica estructural, a través del estudio por modelos de masas concentradas, en el análisis demográfico cuando se estudia el modelo de Lotka y Leslie (de 1920), en el estudio del tránsito interurbano, la geolocalización y el funcionamiento de instalaciones eléctricas complejas.

Los siguientes videos le ayudarán a entender los principales métodos para obtener valores y vectores propios de una transformación lineal conocida.

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